T01 – Základy číslicovej techniky

Vlastnosti

okruh	TČOZ
stav	vypracované

Oficiálne znenie okruhu (PDF sylabus)

ZÁKLADY ČÍSLICOVEJ TECHNIKY – binárny kód, kombinačné a sekvenčné logické obvody, klopné obvody, číselné sústavy

Úvod a význam číslicovej techniky

Číslicová technika spracúva informácie v diskrétnych stavoch. V praxi sa najčastejšie používajú dva logické stavy: 0 a 1. Fyzicky ich môže reprezentovať napríklad nízke a vysoké napätie, pričom presné napäťové úrovne závisia od použitej logickej rodiny. Bit je najmenšia jednotka informácie, osem bitov tvorí bajt. Z takýchto bitov sa skladajú kódy, pamäte, procesory aj komunikačné rámce.

Binárny kód

Binárny kód priraďuje údajom postupnosti núl a jednotiek. Treba rozlišovať hodnotu bitového čísla od kódu, ktorý iba reprezentuje inú informáciu:

• čisté binárne číslo vyjadruje číselnú hodnotu v sústave so základom 2,
• BCD kóduje každú desiatkovú číslicu samostatne štyrmi bitmi; číslo 59 je 0101 1001, nie binárny zápis 111011,
• znakové kódy, napríklad ASCII alebo Unicode, priraďujú bitové hodnoty znakom,
• pri prenose a ukladaní sa môžu pridávať kontrolné bity na odhalenie alebo opravu chyby.

Pri digitálnych obvodoch logické operácie realizujú hradlá. Základné hradlá sú AND, OR a NOT; často sa používajú aj XOR, NAND a NOR. NAND a NOR sú univerzálne, pretože pomocou jedného typu hradla možno zostaviť ľubovoľnú logickú funkciu.

Číselné sústavy a prevody

V pozičnej sústave so základom b má číslica na pozícii i váhu b^i. Pre celé číslo platí

$N = aₙ·bⁿ + aₙ₋₁·bⁿ⁻¹ + ... + a₁·b + a₀$.

Najčastejšie sústavy sú binárna (2), osmičková (8), desiatková (10) a šestnástková (16), v ktorej číslice 10 až 15 zapisujeme A až F.

Príklady:

• 10110₂ = 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 22₁₀,
• 3A₁₆ = 3·16 + 10 = 58₁₀,
• desiatkové číslo na binárne prevedieme opakovaným delením dvoma a zapisovaním zvyškov zdola nahor,
• binárne číslo na šestnástkové rozdelíme sprava do štvoríc bitov; 0011 1010₂ = 3A₁₆,
• zlomková časť sa prevádza opakovaným násobením základom; 0,01₂ = 0·2⁻¹ + 1·2⁻² = 0,25₁₀.

Pri zápise so znamienkom sa používa napríklad dvojkový doplnok. Pri n bitoch je rozsah -2ⁿ⁻¹ až 2ⁿ⁻¹ - 1; pri pretečení sa výsledok nezmestí do prideleného počtu bitov.

Kombinačné logické obvody

Výstup kombinačného obvodu závisí iba od aktuálnej kombinácie vstupov, nie od minulosti. Správanie sa opisuje pravdivostnou tabuľkou, logickým výrazom alebo schémou hradiel. Príklady:

• sčítačka sčíta bity; úplná sčítačka má vstupy A, B, Cin a výstupy súčet S a prenos Cout,
• dekodér prevedie binárny kód na aktiváciu jedného z výstupov,
• enkodér vykonáva opačný smer prevodu,
• multiplexor vyberie jeden z viacerých vstupov podľa riadiacich bitov,
• demultiplexor vedie jeden vstup na vybraný výstup,
• komparátor porovnáva dve binárne hodnoty.

Napríklad pre AND platí Y = A · B, takže výstup je 1 iba vtedy, keď sú A aj B rovné 1. Kombinačné obvody nemajú pamäťový prvok ani hodinový signál.

Sekvenčné logické obvody

Pri sekvenčnom obvode závisí výstup od aktuálnych vstupov aj od predchádzajúceho stavu. Obsahuje pamäť a často pracuje so synchronizačným hodinovým signálom. Stav sa môže meniť:

• synchrónne na nábežnej alebo zostupnej hrane hodinového signálu,
• asynchrónne okamžite po zmene riadiaceho vstupu,
• pomocou spätných väzieb, ktoré uchovávajú informáciu.

Medzi sekvenčné obvody patria registre, čítače, posuvné registre a klopné obvody. Pri návrhu treba zohľadniť čas nastavenia (setup time), čas podržania (hold time) a oneskorenie šírenia.

Klopné obvody

Klopný obvod (flip-flop) uchováva jeden bit. Základné typy možno opísať takto:

Typ	Funkcia pri aktívnej hrane hodín
SR	S nastaví Q=1, R vynuluje Q=0; zakázaná kombinácia závisí od realizácie
D	na ďalšej hrane sa do Q uloží hodnota D, teda Q(next)=D
JK	J=1,K=0 nastaví, J=0,K=1 vynuluje, J=K=1 preklopí stav
T	pri T=0 stav drží, pri T=1 sa preklopí

D-klopný obvod je vhodný do registrov, T-klopné obvody do čítačov a JK obvod odstraňuje zakázaný stav klasického SR obvodu. Viac klopných obvodov vytvorí register; kaskádou možno vytvoriť binárny čítač. Hranou riadený obvod treba odlíšiť od transparentnej západky, ktorá môže sledovať vstup počas aktívnej úrovne hodín.

Riešené príklady prevodov

Desiatková → binárna (delenie dvoma, zvyšky čítame zdola nahor), číslo 45:

Delenie	Podiel	Zvyšok
45 : 2	22	1
22 : 2	11	0
11 : 2	5	1
5 : 2	2	1
2 : 2	1	0
1 : 2	0	1

45₁₀ = 101101₂. Kontrola: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

• Binárna → osmičková: trojice bitov sprava, 101 101₂ = 55₈ (5·8 + 5 = 45).
• Binárna → šestnástková: štvorice sprava, 0010 1101₂ = 2D₁₆ (2·16 + 13 = 45).
• Binárne sčítanie: 1011 + 0110 = 10001 (11 + 6 = 17). Pravidlá: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (zapíšem 0, prenos 1), 1+1+1=11.
• Dvojkový doplnok čísla −5 v 8 bitoch: 00000101 → invertujem 11111010 → pripočítam 1 → 11111011.

Logické hradlá a Booleova algebra

A	B	AND	OR	NAND	NOR	XOR
0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	1	0	0	0

NOT má jeden vstup a výstup neguje (Y = ¬A).

Pravidlá na zjednodušovanie výrazov:

• A + 0 = A, A · 1 = A, A + 1 = 1, A · 0 = 0
• A + A = A, A · A = A, A + ¬A = 1, A · ¬A = 0
• De Morganove zákony: ¬(A · B) = ¬A + ¬B a ¬(A + B) = ¬A · ¬B
• príklad: A·B + A·¬B = A·(B + ¬B) = A·1 = A

Na grafické zjednodušenie funkcie 3–4 premenných slúži Karnaughova mapa: susedné jednotky sa združujú do skupín po 1, 2, 4 alebo 8 a z každej skupiny ostanú len premenné, ktoré sa v nej nemenia.

Sčítačky

• Polovičná sčítačka: S = A ⊕ B, C = A · B (nepočíta s prenosom zo zvyšku čísla).
• Úplná sčítačka: S = A ⊕ B ⊕ Cin, Cout = A·B + Cin·(A ⊕ B). Zreťazením n úplných sčítačiek vznikne n-bitová sčítačka.

Čítače a registre

• n klopných obvodov tvorí čítač, ktorý napočíta 0 až 2ⁿ − 1 (3 klopné obvody → 0 až 7, čítač modulo 8).
• Asynchrónny čítač: výstup jedného klopného obvodu taktuje ďalší; je jednoduchý, ale oneskorenia sa sčítavajú.
• Synchrónny čítač: všetky klopné obvody majú spoločné hodiny, je rýchlejší.
• Posuvný register posúva bity o jednu pozíciu na každú hranu hodín; používa sa pri sériovo-paralelnom prevode (napr. UART, SPI).
• Základný SR obvod z hradiel NOR má zakázaný stav S = R = 1; pri hradlách NAND sú vstupy aktívne v nule.

Krátka ústna odpoveď

Číslicová technika pracuje s diskrétnymi bitmi a binárnymi kódmi. Čísla možno prevádzať medzi binárnou, osmičkovou, desiatkovou a šestnástkovou sústavou pomocou pozičných váh. Kombinačné obvody, napríklad sčítačky a multiplexory, nemajú pamäť a výstup určujú iba aktuálne vstupy. Sekvenčné obvody pamäť majú a používajú hodinový signál; ich základom sú SR, D, JK a T klopné obvody, z ktorých sa skladajú registre a čítače.

Kontrolné otázky

Preveď 45₁₀ do dvojkovej, osmičkovej a šestnástkovej sústavy.

101101₂, 55₈, 2D₁₆.

Aký je rozdiel medzi kombinačným a sekvenčným obvodom?

Výstup kombinačného obvodu závisí len od aktuálnych vstupov, nemá pamäť ani hodiny (sčítačka, multiplexor). Sekvenčný obvod má pamäť, výstup závisí aj od predchádzajúceho stavu (klopné obvody, čítače, registre).

Prečo sú NAND a NOR univerzálne hradlá?

Z jedného typu (len NAND alebo len NOR) sa dá poskladať ľubovoľná logická funkcia vrátane NOT, AND a OR.

Napíš De Morganove zákony.

¬(A·B) = ¬A + ¬B a ¬(A+B) = ¬A · ¬B.

Ako sa správa JK klopný obvod pri J = K = 1?

Na každú aktívnu hranu hodín preklopí výstup na opačnú hodnotu.

Čo je BCD a ako zapíšeš 59?

Každá desiatková číslica sa kóduje štyrmi bitmi: 0101 1001.

Ako zapíšeš −5 v 8-bitovom dvojkovom doplnku?

00000101 → invertovať 11111010 → +1 → 11111011.

Koľko stavov má čítač z 3 klopných obvodov?

2³ = 8 stavov, počíta 0 až 7.

---

🔗 Spätné odkazy (3)

• Elektronika a obvody – TČOZ
• Hardvér a IoT – TČOZ
• Zoznam tém – TČOZ